martes, 15 de mayo de 2007
lunes, 14 de mayo de 2007
Parábola
La parábola, la elipse y la hipérbola se denominan secciones cónicas o simplemente cónicas.
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia a un punto fijo del plano que no pertenece a la recta.
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia a un punto fijo del plano que no pertenece a la recta.
El punto fijo se denomina foco y la recta fija directriz de la parábola.
Ecuaciones de la parábola
La ecuación de una parábola adopta su forma más simple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con uno de los ejes coordenados.
Consideremos la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X. El foco F está sobre c! eje X. Sean (P, 0) sus coordenadas. Por definición de parábola, la ecuación de la directriz / es x = — p.
Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola. Tratemos por P e! segmento PA perpendicular a /. Entonces, por la definición de parábola, el punto P debe satisfacer la condición.
F P = pa
Ahora bien.
F P = √ (x – p)2 + y2
pero como
PA j = x + p
tendremos:
√ (x – p )2 + y2 = x + p
Elevando al cuadrado ambos miembros de esta última ecuación y simplificando, se obtiene y2 = 4px
Recíprocamente, sea P1(x1, y1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfagan la anterior ecuación.
Tendremos:
Y 21 = 4 p x1
Si sumamos (x1 - p)2 a ambos miembros de esta ecuación y extraemos la raíz cuadrada, obtenemos, para la raíz positiva.
√ (x1 – p)2 + y21 = x1 + p
Por consiguiente, está sobre la parábola.
Evidentemente, la parábola considerada pasa por el origen y no tiene ninguna otra intersección con los ejes coordenados. Ea única simetría que posee es con respecto al eje X. Despejando .y de la ecuación tenemos:
y = ± 2 √ px
Por lo tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y A" deben ser del mismo signo.
Así pues, podemos considerar dos casos: p > O y p<0.>
Si p > O, deben excluirse todos los valores negativos de x, y toda la curva se encuentra a la derecha del eje Y. Como no se excluye ningún valor positivo de x, y como y puede tomar todos los valores reales, se obtiene una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X. En este caso se dice que la parábola se abre hacia la derecha.
Hay dos puntos sobre la parábola que tienen abscisa igual a p, uno de ellos tiene la ordenada 1p y el otro la ordenada -2p. Como la abscisa del foco es p, la longitud del lado recto es igual al valor absoluton de 4p.
La ecuación de la parábola, en su forma más simple, está referida a los ejes de coordenadas, siendo el vértice el punto O y el eje de la parábola el eje de coordenada.
Tal como puede observarse en la figura 14-4. si /> O, la parábola se abre hacia arriba.
Si p <' 0. la parábola se abre hacia abajo, tal como se observa en la figurA. Los resultados anteriores pueden resumirse del modo siguiente: La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje X, es y2 = 4px, en donde el foco es el punto (p,0) y la ecuación de la directriz. es x = -p. Si p > U, la parábola se abre hacia la derecha; si p < y =" —p."> O, la parábola se abre hacia arriba; si p <>
En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p que es el coeficiente del término de primer grado.
Tal como puede observarse en la figura , consideremos la parábola cuyo vértice es el punto (h,k) y cuyo eje es paralelo al eje X.
Si los ejes coordenados se trasladan de modo que el nuevo origen O' coincida con el vértice (//,/<), la ecuación de la parábola con respecto a los nuevos ejes X’ e Y’ vendrá dada por:
y’2=4px’
en donde las coordenadas del foco F son (p,0) referido a los nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los ejes originales X e Y se pueden obtener las ecuaciones:
x’=x-h;y’=y-k
Sustituyendo estos valores de x' e r' en la ecuación anterior se obtiene:
(y-k)2 =4p(x-h)
Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (//, k) y cuyo eje es paralelo al eje Y tiene por ecuación:
(x-h)2=4p(y-k)
Siendo p la longitud de la porción el eje comprendida entre el foco y el vértice.
Consideremos la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X. El foco F está sobre c! eje X. Sean (P, 0) sus coordenadas. Por definición de parábola, la ecuación de la directriz / es x = — p.
Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola. Tratemos por P e! segmento PA perpendicular a /. Entonces, por la definición de parábola, el punto P debe satisfacer la condición.
F P = pa
Ahora bien.
F P = √ (x – p)2 + y2
pero como
PA j = x + p
tendremos:
√ (x – p )2 + y2 = x + p
Elevando al cuadrado ambos miembros de esta última ecuación y simplificando, se obtiene y2 = 4px
Recíprocamente, sea P1(x1, y1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfagan la anterior ecuación.
Tendremos:
Y 21 = 4 p x1
Si sumamos (x1 - p)2 a ambos miembros de esta ecuación y extraemos la raíz cuadrada, obtenemos, para la raíz positiva.
√ (x1 – p)2 + y21 = x1 + p
Por consiguiente, está sobre la parábola.
Evidentemente, la parábola considerada pasa por el origen y no tiene ninguna otra intersección con los ejes coordenados. Ea única simetría que posee es con respecto al eje X. Despejando .y de la ecuación tenemos:
y = ± 2 √ px
Por lo tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y A" deben ser del mismo signo.
Así pues, podemos considerar dos casos: p > O y p<0.>
Si p > O, deben excluirse todos los valores negativos de x, y toda la curva se encuentra a la derecha del eje Y. Como no se excluye ningún valor positivo de x, y como y puede tomar todos los valores reales, se obtiene una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X. En este caso se dice que la parábola se abre hacia la derecha.
Hay dos puntos sobre la parábola que tienen abscisa igual a p, uno de ellos tiene la ordenada 1p y el otro la ordenada -2p. Como la abscisa del foco es p, la longitud del lado recto es igual al valor absoluton de 4p.
La ecuación de la parábola, en su forma más simple, está referida a los ejes de coordenadas, siendo el vértice el punto O y el eje de la parábola el eje de coordenada.
Tal como puede observarse en la figura 14-4. si /> O, la parábola se abre hacia arriba.
Si p <' 0. la parábola se abre hacia abajo, tal como se observa en la figurA. Los resultados anteriores pueden resumirse del modo siguiente: La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje X, es y2 = 4px, en donde el foco es el punto (p,0) y la ecuación de la directriz. es x = -p. Si p > U, la parábola se abre hacia la derecha; si p < y =" —p."> O, la parábola se abre hacia arriba; si p <>
En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p que es el coeficiente del término de primer grado.
Tal como puede observarse en la figura , consideremos la parábola cuyo vértice es el punto (h,k) y cuyo eje es paralelo al eje X.
Si los ejes coordenados se trasladan de modo que el nuevo origen O' coincida con el vértice (//,/<), la ecuación de la parábola con respecto a los nuevos ejes X’ e Y’ vendrá dada por:
y’2=4px’
en donde las coordenadas del foco F son (p,0) referido a los nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los ejes originales X e Y se pueden obtener las ecuaciones:
x’=x-h;y’=y-k
Sustituyendo estos valores de x' e r' en la ecuación anterior se obtiene:
(y-k)2 =4p(x-h)
Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (//, k) y cuyo eje es paralelo al eje Y tiene por ecuación:
(x-h)2=4p(y-k)
Siendo p la longitud de la porción el eje comprendida entre el foco y el vértice.
LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos: los puntos fijos se llaman focos, los puntos de intercepción sobre el plano se llaman vértice.
La condición es: FP + F´P= 2 a
De modo que la ecuación geométrica queda expresada analíticamente por la ecuación:
√(x-c)2 + y2 + √(x+c)2 + y2 =2 a
La condición es: FP + F´P= 2 a
De modo que la ecuación geométrica queda expresada analíticamente por la ecuación:
√(x-c)2 + y2 + √(x+c)2 + y2 =2 a
PROPIEDADES DE LA ELIPSE
Si desde un punto P de la elipse se trazan los segmentos PF y PF’, la bisectriz exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente a la elipse.
Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otro foco.
Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otro foco.
Ejemplos de elipse
Ejemplo:
Resumen de Fórmulas:
Para X Para Y
x²/ a² + y²/ b² =1 x²/ b² + y²/ a² =1
centro (h,k) centro (h,k)
(x-h)²/a² + (y-k)²/b²=1 (x-h)²/b² + (y-k)²/a²=1
V: (h+a,k)(h-a,k) V: (h,k+a)(h,k-a)
F: (h+c,k)(h-c,k) F: (h,k+c)(h,k-c)
a=4
c=3
a²= b²+ c²
a²- b²-c²= 0
-b²= -a²+c²
b²= a²-c²
b²= 16+9
b²= 7.
C= Centro
A´= Eje Menor
AVV´= Eje Mayor
FP y F´P= Radiovectores
LL’= Lado Recto
D,D´= Diámetro
B,B´= Cuerda
A´= Eje Menor
AVV´= Eje Mayor
FP y F´P= Radiovectores
LL’= Lado Recto
D,D´= Diámetro
B,B´= Cuerda
E,E´= Cuerda Focal
L= Eje Focal
L´= Eje Normal
L= Eje Focal
L´= Eje Normal
Resumen de Fórmulas:
Para X Para Y
x²/ a² + y²/ b² =1 x²/ b² + y²/ a² =1
centro (h,k) centro (h,k)
(x-h)²/a² + (y-k)²/b²=1 (x-h)²/b² + (y-k)²/a²=1
V: (h+a,k)(h-a,k) V: (h,k+a)(h,k-a)
F: (h+c,k)(h-c,k) F: (h,k+c)(h,k-c)
EJE MAYOR= 2 a
EJE MENOR= 2 b
EJE MENOR= 2 b
e= c/a
RELACIÓN: a²= b² +c²
LADO RECTO = 2 b²/a
LADO RECTO = 2 b²/a
x²/16 + y²/7 =1
Eje Mayor= 2 a
= 2(4)
= 8
Eje Mayor= 2 b
= 2(√7)
= 5,3
= 2(4)
= 8
Eje Mayor= 2 b
= 2(√7)
= 5,3
LR= 2 b²/a
LR= 2(√7)²/4
LR= 14/4
LR= 3,5
LR= 2(√7)²/4
LR= 14/4
LR= 3,5
Ejercicio:
Hallar la ecuación de la elipse cuyo vértice son los puntos (4,0) y (-4,0) y cuyos focos son los puntos (3,0) y (-3,0). Encontrar también las longitudes de los ejes mayor y menor y lado recto.
V (4,0) V´(-4,0) x²/ a² + y²/ b² =1
F (3,0) F´(-3,0).
Hallar la ecuación de la elipse cuyo vértice son los puntos (4,0) y (-4,0) y cuyos focos son los puntos (3,0) y (-3,0). Encontrar también las longitudes de los ejes mayor y menor y lado recto.
V (4,0) V´(-4,0) x²/ a² + y²/ b² =1
F (3,0) F´(-3,0).
c=3
a²= b²+ c²
a²- b²-c²= 0
-b²= -a²+c²
b²= a²-c²
b²= 16+9
b²= 7.
LA HIPÉRBOLA
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de modo que el valor absoluto de la diferencia de sus dis¬tancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.
Tal como puede observarse en la figura, los focos se designan por F y F'. La recta r que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos, V y V’, denomi¬nados vértices. La porción del eje focal comprendido entre los vérti¬ces, el segmento VV, se llama eje transverso. El punto medio C del eje transverso se denomina centro. La recta r' que pasa por C y es perpendicular al eje focal r recibe el nombre de eje normal. El eje norma! r' no corta a la hipérbola. La porción del eje normal, el seg¬mento AA', que tiene C por punto medio, se denomina eje conju¬gado. El segmento que une dos puntos distintos cualesquiera de la hipérbola se llama cuerda. Una cuerda que pasa por un foco, tal como EE', recibe el nombre de cuerda focal. Una cuerda focal, como LL', perpendicular al eje focal r, se denomina lado recto. Evi¬dentemente, la hipérbola tiene dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD', se llama diámetro. Si P es un punto cual¬quiera de la hipérbola, los segmentos FP y F' P que unen los focos con el punto P se denominan radios vectores de P.
Ecuaciones de la hipérbola
Consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X.
Los focos F y F están situados sobre el eje X. Como el punto 0 es el punto medio del segmento FF', las coordenadas de Fy F' serán, respectivamente, (c,0)'y (-c.0) siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la hipérbola. Por la definición de hipérbola, el punto P debe satisfacer la condición.
FP-F’P=2 a
en donde a es una constante positiva y 2a
FP-F’P=2 a
FP-F’P=-2 a
La primera de estas relaciones se verifica cuando P está sobre la rama izquierda de la hipérbola. La segunda relación se verifica cuando P está sobre la rama derecha.
Ahora bien:
FP = √(x-c)2 + y2
F’P = √(x+c)2 + y2
Estas ecuaciones se reducen a:
(c2 – a2) x2 – a2y2 = a2(c2 – a2)
Puesto que c>a, c2-a es positivo, que podemos designar por b2. Sustituyendo la relación:
b2 = c2 – a2
se obtiene:
b2x2 –a2 y2 = a2 b2
que se puede escribir:
x2/a2 - y2/b2 = 1
Simplificación de la ecuación de una cónica de la hipérbola
Cuando la ecuación de una cónica tiene términos lineales (no elevados al cuadrado) indica que el centro de la cónica (o vértice en el caso de la parábola) se encuentra fuera del origen. De la misma manera, cuando la ecuación presenta un término Bxy, indica que la gráfica de la curva se encuentra en posición oblicua con respecto a los ejes de coordenadas. De acuerdo con esto, se puede decir que la complejidad de la ecuación de una cónica depende de su posición relativa con respecto a los ejes de coordenadas.
Con frecuencia resulta práctico trabajar con ecuaciones más simples, es decir, que carezcan de los términos Bxy, Dx y Ey. Una estrategia para simplificar la ecuación de una cónica consiste en generar un nuevo sistema de ejes ubicados y orientados de manera que, sin que la curva pierda sus propiedades y dimensiones reales, pueda ser expresada de manera más simple. A este procedimiento se le conoce como transformación de coordenadas. Cuando la transformación consiste en generar un nuevo sistema de ejes paralelos y con sentido análogo a los originales, la transformación es conocida como traslación de ejes.
Con frecuencia resulta práctico trabajar con ecuaciones más simples, es decir, que carezcan de los términos Bxy, Dx y Ey. Una estrategia para simplificar la ecuación de una cónica consiste en generar un nuevo sistema de ejes ubicados y orientados de manera que, sin que la curva pierda sus propiedades y dimensiones reales, pueda ser expresada de manera más simple. A este procedimiento se le conoce como transformación de coordenadas. Cuando la transformación consiste en generar un nuevo sistema de ejes paralelos y con sentido análogo a los originales, la transformación es conocida como traslación de ejes.
Traslación de ejes de la hipérbola
En una traslación de ejes, las coordenadas de cada punto del plano cambian como lo muestra la siguiente figura.
Se puede observar que:
x = x’+ h; y = y’ + k
o
x’= x –h y’ = y – k
que son las fórmulas de traslación de ejes
Rotación de ejes de la hipérbola
En la traslación, los ejes de coordenadas pueden tener el mismo origen pero diferente dirección con respecto a los ejes de la cónica dada, es decir, los nuevos ejes X’–Y’ presentan cierto ángulo de inclinación con respecto a los ejes originales X – Y. Considérese la siguiente figura:
factorizando nuevamente el término x’y’ , se tiene:
Se puede observar que:
__ __ __
x=OS = OT - QR o
x’ cos q – y’ sen q
__ __ __
__ __ __
y = SP = RT + QP ò
x’ sen q + y’ cos q
En resumen:
Son las fórmulas de rotación de ejes:
x = x’ cos q – y’ sen q
y = x’ sen q + y’ cos q
Estas relaciones de rotación de ejes, se aplican generalmente a dos casos de transformaciones:
- Cuando se giran los ejes con base a un ángulo cualquiera .
- Cuando se giran los ejes un ángulo específico para eliminar el término Bxy.
Determinación del ángulo de rotación:
Dada una ecuación general de la forma:
Dada una ecuación general de la forma:
Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx + Ey + F = 0
Siempre es posible determinar el ángulo q de rotación de manera que se elimine el término Bxy.
De acuerdo con las fórmulas de rotación:
x = x’ cos q – y’ sen q
y = x’ sen q + y’ cos q
y haciendo la sustitución en la ecuación tenemos:
Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx + Ey + F = 0
A(x’ cos q – y’ sen q )2 + B(x’ cos q – y’ sen q )( x’ sen q + y’ cos q ) + C(x’ sen q + y’ cos q )2 + D(x’ cos q – y’ sen q ) + E(x’ sen q + y’ cos q ) + F = 0
desarrollando los productos:
A(x’2 cos2 q – 2x’y’ sen q cosq + y’2 sen2 q ) + B(x2’ senq cos q +x’ y’ cos2 q – x’y’ sen2 q – y’2senq cos q )+ C(x’2 sen2 q + 2x’y’ sen q cosq + y’2 cos2 q ) + D(x’ cos q – y’ sen q ) + E(x’ sen q + y’ cos q ) + F = 0
de donde:
Ax’2 cos2 q – 2Ax’y’ sen q cosq + Ay’2 sen2 q + Bx2’ senq cos q + Bx’ y’ cos2 q – Bx’y’ sen2 q – By’2senq cos q Cx’2 sen2 q + 2Cx’y’ sen q cosq +C y’2 cos2 q + Dx’ cos q – Dy’ sen q + Ex’ sen q + E y’ cos q + F = 0
ordenando y reduciendo los términos en función de x’2, x’y’; y y’2:
Ax’2 cos2 q + Bx2’ senq cos q + Cx’2 sen2 q – 2Ax’y’ sen q cosq + Bx’ y’ cos2 q – Bx’y’ sen2 q + 2Cx’y’ sen q cosq + Ay’2 sen2 q – By’2senq cos q + C y’2 cos2 q +Dx’ cos q + Ex’ sen q + E y’ cos q – Dy’ sen q + F = 0
factorizando:
x’2 (A cos2 q + Bsenq cos q + Csen2 q ) + x’y’ (– 2A sen q cosq + Bcos2 q – B sen2 q + 2Csen q cosq ) + y’2 (A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q ) x’ (D cos q + E sen q ) + y’ ( E cos q – D sen q ) + F = 0
ó bien:
(A cos2 q + Bsenq cos q + Csen2 q ) x’2 + (– 2A sen q cosq + Bcos2 q – B sen2 q + 2Csen q cosq ) x’y’ + (A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q ) y’2 + (D cos q + E sen q ) x’ +
( E cos q – D sen q ) y’ + F = 0
( E cos q – D sen q ) y’ + F = 0
factorizando nuevamente el término x’y’ , se tiene:
(2(C–A) sen q cosq ) + B (cos2 q – sen2 q ) x’y’
Si se proponen nuevos coeficientes A’, B’, C’, D’, E’ y F’, para la ecuación de manera que:
Fórmulas de rotación
A’ = A cos2 q + B senq cos q + C sen2 q
B’ = 2(C–A) sen q cosq ) + B (cos2 q – sen2 q )
C’ = A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q
D’ = D cos q + E sen q )
E’ = E cos q – D sen q F’ = F
B’ = 2(C–A) sen q cosq ) + B (cos2 q – sen2 q )
C’ = A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q
D’ = D cos q + E sen q )
E’ = E cos q – D sen q F’ = F
Fórmula del ángulo de rotación
Ejemplos de Hipérbola
Ejemplo
Simplifique la siguiente ecuación por rotación de manera que carezca del término Bxy
8x2 – 12xy + 17y2 – 80 = 0
De acuerdo con los coeficientes de la ecuación se tiene:
A = 8
B = –12
C = 17
D = 0
E = 0
F = –80
Ahora se debe determinar el ángulo de rotación que permite eliminar el término Bxy:
tan 20 = B/A-C = -12/8-17 = -12/-9 = 4/3
por lo que, determinando la función inversa (arco tangente) se tiene:
tan–1 4/3 =53.30; lo que nos indica que 2q = 53.30º;
por lo que el valor de q , es
q= 53.30º/2 = 26.56º
Ahora se determina sen q y cos q ;
sen q = 0 .4472
cos q = 0.8944
Aplicando las fórmulas de rotación se tiene:
A’ = A cos2 q + B senq cos q + C sen2 q ;
A’ = 8(0.8944)2 –12 (0.4472)(0.8944) + 17(0.4472)2;
A’ = 6.4 – 4.8 + 3.4 = 5
B’ = 2(C–A) (sen q cosq ) + B (cos2 q – sen2 q )
B’= 2(17– 8) (0.8944)(0.4472) – 12 (0.89442–0.44722)
B’= 18(0.4) – 12(0.6) = 0
C’ = A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q
C’ = 8(0.4472)2 + 12 (0.4472)(0.8944) + 17(0.8944)2
C’ = 1.6 + 4.8 + 13.6 = 20
D’ = D cos q + E sen q
D’ = 0(0.8944) + 0 ( 0.4472) = 0
E’ = E cos q – D sen q
E’ = 0(0.8944) – 0(0.4472) = 0
F’ = –80
De acuerdo con los resultados, la ecuación: 8x2 – 12xy + 17y2 – 80 = 0; ya transformada es:
5x’2 + 20y’2 – 80 = 0 ó x’2 + 4y’2 –16 = 0
Observe que el término B’ es igual a cero. Siempre que se aplique el ángulo correcto, el resultado será B’ = 0, es decir, se eliminará dicho término.
Por otro lado, es importante que el estudiante tenga presente que la rotación de ejes se puede realizar utilizando las fórmulas de los coeficientes A’, B’, ..., o bien, sustituyendo las relaciones:
x = x’ cos q – y’ sen q
y = x’ sen q + y’ cos q
directamente en la ecuación dada.
Otro punto importante es que se debe tener cuidado al aplicar la fórmula del ángulo de rotación:
tan 20=B/A-C
pues cuando los coeficientes A y C son iguales, el valor de la tangente se indetermina por lo que nos indica que el ángulo 2q = 90º y q = 45º
Algunas veces es necesario realizar una transformación de traslación y rotación a una misma ecuación. En esos casos la transformación se realiza de manera secuencial.
Simplifique la siguiente ecuación por rotación de manera que carezca del término Bxy
8x2 – 12xy + 17y2 – 80 = 0
De acuerdo con los coeficientes de la ecuación se tiene:
A = 8
B = –12
C = 17
D = 0
E = 0
F = –80
Ahora se debe determinar el ángulo de rotación que permite eliminar el término Bxy:
tan 20 = B/A-C = -12/8-17 = -12/-9 = 4/3
por lo que, determinando la función inversa (arco tangente) se tiene:
tan–1 4/3 =53.30; lo que nos indica que 2q = 53.30º;
por lo que el valor de q , es
q= 53.30º/2 = 26.56º
Ahora se determina sen q y cos q ;
sen q = 0 .4472
cos q = 0.8944
Aplicando las fórmulas de rotación se tiene:
A’ = A cos2 q + B senq cos q + C sen2 q ;
A’ = 8(0.8944)2 –12 (0.4472)(0.8944) + 17(0.4472)2;
A’ = 6.4 – 4.8 + 3.4 = 5
B’ = 2(C–A) (sen q cosq ) + B (cos2 q – sen2 q )
B’= 2(17– 8) (0.8944)(0.4472) – 12 (0.89442–0.44722)
B’= 18(0.4) – 12(0.6) = 0
C’ = A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q
C’ = 8(0.4472)2 + 12 (0.4472)(0.8944) + 17(0.8944)2
C’ = 1.6 + 4.8 + 13.6 = 20
D’ = D cos q + E sen q
D’ = 0(0.8944) + 0 ( 0.4472) = 0
E’ = E cos q – D sen q
E’ = 0(0.8944) – 0(0.4472) = 0
F’ = –80
De acuerdo con los resultados, la ecuación: 8x2 – 12xy + 17y2 – 80 = 0; ya transformada es:
5x’2 + 20y’2 – 80 = 0 ó x’2 + 4y’2 –16 = 0
Observe que el término B’ es igual a cero. Siempre que se aplique el ángulo correcto, el resultado será B’ = 0, es decir, se eliminará dicho término.
Por otro lado, es importante que el estudiante tenga presente que la rotación de ejes se puede realizar utilizando las fórmulas de los coeficientes A’, B’, ..., o bien, sustituyendo las relaciones:
x = x’ cos q – y’ sen q
y = x’ sen q + y’ cos q
directamente en la ecuación dada.
Otro punto importante es que se debe tener cuidado al aplicar la fórmula del ángulo de rotación:
tan 20=B/A-C
pues cuando los coeficientes A y C son iguales, el valor de la tangente se indetermina por lo que nos indica que el ángulo 2q = 90º y q = 45º
Algunas veces es necesario realizar una transformación de traslación y rotación a una misma ecuación. En esos casos la transformación se realiza de manera secuencial.
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