Ecuaciones de la parábola

La ecuación de una parábola adopta su forma más simple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con uno de los ejes coorde­nados.

Consideremos la pará­bola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X. El foco F está sobre c! eje X. Sean (P, 0) sus coordenadas. Por defini­ción de parábola, la ecuación de la directriz / es x = — p.

Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola. Tratemos por P e! segmento PA perpendicular a /. Entonces, por la definición de pará­bola, el punto P debe satisfacer la condición.


F P = pa
Ahora bien.

F P = √ (x – p)2 + y2

pero como
PA j = x + p


tendremos:
√ (x – p )2 + y2 = x + p


Elevando al cuadrado ambos miembros de esta última ecuación y simplificando, se obtiene y2 = 4px

Recíprocamente, sea P1(x1, y1) un punto cualquiera cuyas coordena­das satisfagan la anterior ecuación.

Tendremos:

Y 21 = 4 p x1


Si sumamos (x1 - p)2 a ambos miembros de esta ecuación y extrae­mos la raíz cuadrada, obtenemos, para la raíz positiva.


√ (x1 – p)2 + y21 = x1 + p


Por consiguiente, está sobre la parábola.

Evidentemente, la parábola considerada pasa por el origen y no tiene ninguna otra intersección con los ejes coordenados. Ea única simetría que posee es con respecto al eje X. Despejando .y de la ecua­ción tenemos:

y = ± 2 √ px


Por lo tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y A" deben ser del mismo signo.
Así pues, podemos considerar dos casos: p > O y p<0.>

Si p > O, deben excluirse todos los valores negativos de x, y toda la curva se encuentra a la derecha del eje Y. Como no se excluye nin­gún valor positivo de x, y como y puede tomar todos los valores rea­les, se obtiene una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X. En este caso se dice que la parábola se abre hacia la derecha.

Hay dos puntos sobre la parábola que tienen abscisa igual a p, uno de ellos tiene la ordenada 1p y el otro la ordenada -2p. Como la abscisa del foco es p, la longitud del lado recto es igual al valor absoluton de 4p.

La ecuación de la parábola, en su forma más simple, está referida a los ejes de coordenadas, siendo el vértice el punto O y el eje de la parábola el eje de coordenada.

Tal como puede observarse en la figura 14-4. si /> O, la parábola se abre hacia arriba.
Si p <' 0. la parábola se abre hacia abajo, tal como se observa en la fi­gurA. Los resultados anteriores pueden resumirse del modo siguiente: La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje X, es y2 = 4px, en donde el foco es el punto (p,0) y la ecuación de la directriz. es x = -p. Si p > U, la parábola se abre hacia la derecha; si p < y =" —p."> O, la parábola se abre hacia arriba; si p <>
En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p que es el coeficiente del término de primer grado.

Tal como puede observarse en la figura , consideremos la pará­bola cuyo vértice es el punto (h,k) y cuyo eje es paralelo al eje X.
Si los ejes coordenados se trasladan de modo que el nuevo origen O' coincida con el vértice (//,/<), la ecuación de la parábola con respecto a los nuevos ejes X’ e Y’ vendrá dada por:

y’2=4px’

en donde las coordenadas del foco F son (p,0) referido a los nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los ejes origina­les X e Y se pueden obtener las ecuaciones:

x’=x-h;y’=y-k

Sustituyendo estos valores de x' e r' en la ecuación anterior se ob­tiene:

(y-k)2 =4p(x-h)

Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (//, k) y cuyo eje es paralelo al eje Y tiene por ecuación:

(x-h)2=4p(y-k)

Siendo p la longitud de la porción el eje comprendida entre el foco y el vértice.