Ecuaciones de la hipérbola

Consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X.

Los focos F y F están situados sobre el eje X. Como el punto 0 es el punto medio del segmento FF', las coordenadas de Fy F' serán, res­pectivamente, (c,0)'y (-c.0) siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la hipérbola. Por la definición de hipérbola, el punto P debe satisfacer la condición.

FP-F’P=2 a

en donde a es una constante positiva y 2a

FP-F’P=2 a

FP-F’P=-2 a

La primera de estas relaciones se verifica cuando P está sobre la rama izquierda de la hipérbola. La segunda relación se verifica cuando P está sobre la rama derecha.

Ahora bien:

FP = √(x-c)2 + y2

F’P = √(x+c)2 + y2

Estas ecuaciones se reducen a:

(c2 – a2) x2 – a2y2 = a2(c2 – a2)

Puesto que c>a, c2-a es positivo, que podemos designar por b2. Sustituyendo la relación:

b2 = c2 – a2

se obtiene:

b2x2 –a2 y2 = a2 b2

que se puede escribir:

x2/a2 - y2/b2 = 1