Ejemplos de Hipérbola

Ejemplo

Simplifique la siguiente ecuación por rotación de manera que carezca del término Bxy

8x2 – 12xy + 17y2 – 80 = 0

De acuerdo con los coeficientes de la ecuación se tiene:

A = 8
B = –12
C = 17
D = 0
E = 0
F = –80

Ahora se debe determinar el ángulo de rotación que permite eliminar el término Bxy:

tan 20 = B/A-C = -12/8-17 = -12/-9 = 4/3

por lo que, determinando la función inversa (arco tangente) se tiene:

tan–1 4/3 =53.30; lo que nos indica que 2q = 53.30º;

por lo que el valor de q , es

q= 53.30º/2 = 26.56º

Ahora se determina sen q y cos q ;

sen q = 0 .4472
cos q = 0.8944

Aplicando las fórmulas de rotación se tiene:

A’ = A cos2 q + B senq cos q + C sen2 q ;
A’ = 8(0.8944)2 –12 (0.4472)(0.8944) + 17(0.4472)2;
A’ = 6.4 – 4.8 + 3.4 = 5
B’ = 2(C–A) (sen q cosq ) + B (cos2 q – sen2 q )
B’= 2(17– 8) (0.8944)(0.4472) – 12 (0.89442–0.44722)
B’= 18(0.4) – 12(0.6) = 0
C’ = A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q
C’ = 8(0.4472)2 + 12 (0.4472)(0.8944) + 17(0.8944)2
C’ = 1.6 + 4.8 + 13.6 = 20
D’ = D cos q + E sen q
D’ = 0(0.8944) + 0 ( 0.4472) = 0
E’ = E cos q – D sen q
E’ = 0(0.8944) – 0(0.4472) = 0
F’ = –80

De acuerdo con los resultados, la ecuación: 8x2 – 12xy + 17y2 – 80 = 0; ya transformada es:

5x’2 + 20y’2 – 80 = 0 ó x’2 + 4y’2 –16 = 0

Observe que el término B’ es igual a cero. Siempre que se aplique el ángulo correcto, el resultado será B’ = 0, es decir, se eliminará dicho término.
Por otro lado, es importante que el estudiante tenga presente que la rotación de ejes se puede realizar utilizando las fórmulas de los coeficientes A’, B’, ..., o bien, sustituyendo las relaciones:

x = x’ cos q – y’ sen q
y = x’ sen q + y’ cos q

directamente en la ecuación dada.

Otro punto importante es que se debe tener cuidado al aplicar la fórmula del ángulo de rotación:

tan 20=B/A-C
pues cuando los coeficientes A y C son iguales, el valor de la tangente se indetermina por lo que nos indica que el ángulo 2q = 90º y q = 45º

Algunas veces es necesario realizar una transformación de traslación y rotación a una misma ecuación. En esos casos la transformación se realiza de manera secuencial.