Rotación de ejes de la hipérbola

En la traslación, los ejes de coordenadas pueden tener el mismo origen pero diferente dirección con respecto a los ejes de la cónica dada, es decir, los nuevos ejes X’–Y’ presentan cierto ángulo de inclinación con respecto a los ejes originales X – Y. Considérese la siguiente figura:

Se puede observar que:

__ __ __

x=OS = OT - QR o

x’ cos q – y’ sen q

__ __ __

y = SP = RT + QP ò

x’ sen q + y’ cos q

En resumen:

Son las fórmulas de rotación de ejes:

x = x’ cos q – y’ sen q

y = x’ sen q + y’ cos q

Estas relaciones de rotación de ejes, se aplican generalmente a dos casos de transformaciones:

• Cuando se giran los ejes con base a un ángulo cualquiera .
  
• Cuando se giran los ejes un ángulo específico para eliminar el término Bxy.

Determinación del ángulo de rotación:

Dada una ecuación general de la forma:

Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx + Ey + F = 0

Siempre es posible determinar el ángulo q de rotación de manera que se elimine el término Bxy.

De acuerdo con las fórmulas de rotación:

x = x’ cos q – y’ sen q

y = x’ sen q + y’ cos q

y haciendo la sustitución en la ecuación tenemos:

Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx + Ey + F = 0

A(x’ cos q – y’ sen q )2 + B(x’ cos q – y’ sen q )( x’ sen q + y’ cos q ) + C(x’ sen q + y’ cos q )2 + D(x’ cos q – y’ sen q ) + E(x’ sen q + y’ cos q ) + F = 0

desarrollando los productos:

A(x’2 cos2 q – 2x’y’ sen q cosq + y’2 sen2 q ) + B(x2’ senq cos q +x’ y’ cos2 q – x’y’ sen2 q – y’2senq cos q )+ C(x’2 sen2 q + 2x’y’ sen q cosq + y’2 cos2 q ) + D(x’ cos q – y’ sen q ) + E(x’ sen q + y’ cos q ) + F = 0

de donde:

Ax’2 cos2 q – 2Ax’y’ sen q cosq + Ay’2 sen2 q + Bx2’ senq cos q + Bx’ y’ cos2 q – Bx’y’ sen2 q – By’2senq cos q Cx’2 sen2 q + 2Cx’y’ sen q cosq +C y’2 cos2 q + Dx’ cos q – Dy’ sen q + Ex’ sen q + E y’ cos q + F = 0

ordenando y reduciendo los términos en función de x’2, x’y’; y y’2:

Ax’2 cos2 q + Bx2’ senq cos q + Cx’2 sen2 q – 2Ax’y’ sen q cosq + Bx’ y’ cos2 q – Bx’y’ sen2 q + 2Cx’y’ sen q cosq + Ay’2 sen2 q – By’2senq cos q + C y’2 cos2 q +Dx’ cos q + Ex’ sen q + E y’ cos q – Dy’ sen q + F = 0

factorizando:

x’2 (A cos2 q + Bsenq cos q + Csen2 q ) + x’y’ (– 2A sen q cosq + Bcos2 q – B sen2 q + 2Csen q cosq ) + y’2 (A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q ) x’ (D cos q + E sen q ) + y’ ( E cos q – D sen q ) + F = 0

ó bien:

(A cos2 q + Bsenq cos q + Csen2 q ) x’2 + (– 2A sen q cosq + Bcos2 q – B sen2 q + 2Csen q cosq ) x’y’ + (A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q ) y’2 + (D cos q + E sen q ) x’ +
( E cos q – D sen q ) y’ + F = 0

factorizando nuevamente el término x’y’ , se tiene:

(2(C–A) sen q cosq ) + B (cos2 q – sen2 q ) x’y’

Si se proponen nuevos coeficientes A’, B’, C’, D’, E’ y F’, para la ecuación de manera que:

Fórmulas de rotación

A’ = A cos2 q + B senq cos q + C sen2 q
B’ = 2(C–A) sen q cosq ) + B (cos2 q – sen2 q )
C’ = A sen2 q – Bsenq cos q + Ccos2 q
D’ = D cos q + E sen q )
E’ = E cos q – D sen q F’ = F

Fórmula del ángulo de rotación